यदि योग frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + f | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी का $n$ वाँ पद:$a_n = \frac{2n + 1}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$आंशिक भिन्न क

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$120$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी का $n$ वाँ पद:$a_n = \frac{2n + 1}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:$a_n = 6 \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right]$$20$ पदों का योग $S_{20}$:$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_{20} = 6 \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{21} \right) \right]$$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$दिया गया है कि $S_{20} = \frac{k}{21}$,तुलना करने पर $k = 120$ प्राप्त होता है।

यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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